Головоломки. Три одинаковые цифры

С условиями задачи можно ознакомиться здесь.

Если вы помните, то самое большое число, которое можно составить из четырех единиц, не прибегая к знакам действий,

из четырех двоек

из трех девяток

Наверняка возникло желание составить из трех двоек следующую комбинацию:

Если произвести необходимые вычисления, то окажется, что данное число меньше, чем 222, так как равно 2⁴, т.е. 16.

Наибольшим числом из трех двоек является

В итоге это число равно 4 194 304.

Важным является и то, что на примерах построения комбинации из трех цифр для получения наибольшего числа, наглядно видна опасность поступать по аналогии. Такой подход легко может привести нас к ошибочным заключениям.

Подберем комбинацию из трех троек.
В данном случае «трехъярусная» комбинация также не приводит нас к наибольшему числу.

равняется

Наибольшее число мы получим при комбинации

А вот для комбинации из трех четверок «двухъярусная» комбинация дает не самое большое число, которое можно построить.
В случае с четверками наилучшим вариантом будет именно трехъярусное построение, так как

равняется

Как видите, это гораздо больше, чем 4⁴⁴.

Так почему же одни цифры «рождают» гигантские числа при построении в три яруса, а другим достаточно для этого всего два яруса?
Для ответа на этот вопрос рассмотрим общий случай построения наибольшего числа тремя одинаковыми цифрами, не употребляя знаков действий.

Обозначим цифру буквой «а».
Двухъярусному расположению (2²², 3³³, 4⁴⁴) в таком случае соответствует

т.е.

Трехъярусное расположение в общем виде можно выразить как

Нам необходимо определить, при каком значении «а» трехъярусная комбинация изображает большее число, чем двухъярусная, то есть когда

Разделим обе части неравенства на «а». Получим

Несложно посчитать, что данное неравенство верно только при условии, что а > 3, потому что при а= 4 мы получим

При этом степени

или

меньше 11.

Теперь понятно, почему для построения наибольшего числа из трех двоек и троек необходимо одно расположение цифр, а для четверок и бо́льших чисел – другое.