Задача №234

Решим задачу №234:
В квадрате со стороной 1 произвольно отмечаем 101 точку, причем никакие три точки не лежат на одной прямой.
Примечание: часть точек может располагаться и на сторонах квадрата.
Вопрос: Существует ли треугольник с вершинами в этих произвольных точках, площадь которого не больше 1/100?

Для решения задачи разобьем квадрат на 50 равных прямоугольников. Площадь каждого прямоугольника, соответственно, равна 1/50. Стороны прямоугольников возьмем произвольно. Например, 0,2 и 0,1.

Применив принцип Дирихле, мы можем легко доказать, что в какой-то из этих прямоугольников попадет не менее трех точек из 101 возможной. Эти точки, как указано в примечании к задаче, могут располагаться как внутри, так и на границах квадрата.

Предположим, что утверждение, данное в задаче, о существовании треугольника с вершинами в этих произвольных точках, площадь которого не больше 1/100, верное. Тогда должно быть верным утверждение, что площадь треугольника, вершины которого находятся внутри или на границах прямоугольника (см. выше), не превосходит половины площади прямоугольника.

Мы знаем, что в какой-то из прямоугольников попадет не менее трех точек из 101 возможной (см. выше). Именно с вершинами в этих трех точках мы построим треугольник. Если одна сторона треугольника лежит на стороне прямоугольника, то длина этой стороны не превосходит соответствующей длины прямоугольника, а высота треугольника, опущенная на рассматриваемую сторону, не превосходит второй стороны прямоугольника.

Из этого следует, что площадь треугольника не превосходит половины площади прямоугольника. То есть, не превосходит 1/100.

Рассмотрим общий случай, при котором вершины треугольника (точки) могут располагаться как на сторонах прямоугольника, так и внутри прямоугольника.
Проведем через вершины треугольника прямые, параллельные одной из сторон прямоугольника. Одна из таких прямых окажется между двумя другими (можно рассмотреть частный случай того, что прямая, проходящая через две вершины, окажется параллельной стороне прямоугольника, то есть мы получим всего две прямых, но вывод не изменится). Она делит прямоугольник на два новых прямоугольника, а треугольник на два новых треугольника. При этом одна из сторон вновь образованных треугольников лежит на стороне соответствующего нового прямоугольника.
Следовательно, площадь каждого из вновь построенных (полученных) треугольников не превосходит половины площади содержащего его прямоугольника (см. выше). Площадь объединенных многоугольников, не имеющих общих внутренних точек, равна сумме площадей объединяемых многоугольников. Значит, утверждение о том, что площадь каждого из вновь построенных (полученных) треугольников не превосходит половины площади содержащего его прямоугольника, верно и для исходных фигур.