Неопределенные уравнения

Алгебраическое решение уравнений часто сводится к построению некоего уравнения или системы уравнений. Обычно при этом по условиям задачи составляется столько независимых уравнений[1], сколько имеется неизвестных.

Но такой способ неприменим в случаях, когда число независимых уравнений, которые можно составить по условиям задачи, меньше числа неизвестных. Например, может оказаться, что при двух неизвестных можно составить только одно уравнение.

Тем не менее, условиями задачи могут быть предусмотрены дополнительные ограничения на неизвестные, которые в совокупности с полученными (составленными) уравнениями позволяют полностью найти значения неизвестных. Примером таких ограничений могут служить условия, по которым искомые числа целые или заключены в заданных пределах. Возможны и другие ограничения или совокупность ограничений.

Допустим, требуется найти двузначное число с суммой цифр, равной единице.

Обозначим десятки числа через «х», а единицы через «y». Это позволит нам составить уравнение:

х+y=1.

Этому условию удовлетворяет бесконечно много действительных чисел.

Перейдем к разбору ограничений, предложенных (скрытых) в условиях задачи.

Первое: «х» и «y» – целые числа, так как в совокупности составляют единое число.

Второе: х≥1, y≥0, так как искомое число не может начинаться на нуль.

Уравнение х+y=1 и дополнительные условия к нему позволяют однозначно найти  неизвестные:

«х» не может быть больше единицы, так как это привело бы к х+y>1, что противоречит х+y=1.

Следовательно, «х» не больше единицы, но и х≥1.

Значит «х=1», а «y=0». Искомое число – 10.

Уравнение, содержащее больше одной неизвестной – неопределенное уравнение. Система уравнений, у которых неизвестных больше, чем независимых уравнений – неопределенная система уравнений. Следует отметить, что множество чисел, к которому принадлежат неизвестные, должно быть указано.

Приведем пример задачи, которая приводит к неопределенной системе уравнений.

К трехзначному числу прибавили 7. Полученная при этом сумма кратна 7.

Когда к полученной сумме прибавили 8, то получили число, кратное 8.

После прибавления к результату 9 получили число, кратное 9.

Необходимо найти исходное число, при условии, что все цифры в нем различны.

Ответ к задаче здесь.

[1]    Независимое уравнение – это уравнение в системе одновременных уравнений, которое не может быть выведено алгебраически из других уравнений.