Стоимость проезда. В чем секрет?

Присмотритесь внимательно к числам «165» и «732».

На первый взгляд, эти числа состоят из совершенно разных цифр:

1 , 6 , 5 и 7 , 3 , 2

Но, если присмотреться, то можно заметить, что сумма цифр одинакова:

1+6+5=12 и 7+3+2=12

Но и это еще не всё!

Трехзначные цифры с одинаковой суммой цифр в любом случае дали бы одно и тоже число при суммировании всех возможных перестановок цифр в этих числах.

Хотите доказательство? Оно здесь!

Запишем любое трехзначное число в виде формулы:

100a+10b+c,

где

a – число сотен,

b – число десятков,

c – число единиц.

Теперь сделаем все возможные перестановки цифр столбиком:

100a+10b+c

100a+10c+b

100b+10a+c

100b+10c+a

100c+10a+b

100c+10b+a,

а потом их сложим:

200(a+b+c)+20(a+b+c)+2(a+b+c)

Упростим выражение:

2(a+b+c)*(100+10+1)

или

222(a+b+c).

Из этого следует, что сумма перестановок зависит не от самого числа, а от суммы его цифр. Т.е. все трехзначные числа с одинаковой суммой цифр будут давать одно и то же число.

Для нашего примера 222*12 = 2664!

Кстати, правило работает и для чисел с большим количеством цифр, но уже с другим численным результатом.

Задача №22.2 здесь.