Задачи №241, 242

Решим задачу №241:
Верно ли утверждение, что не существует четверки натуральных чисел: x, y, z, u, удовлетворяющих уравнению

Допустим, что утверждение, данное в задаче, неверное. То есть такие четверки натуральных чисел существуют.
Рассмотрим те из них, для которых минимальна величина

Если таковых четверок, для которых эта величина одинакова и минимальна, несколько, то рассмотрим любую из них.
Предположим, что эта четверка: a, b, c, d.
a² + b² делится на три тогда и только тогда, когда числа a и b кратны трем. Доказательство данного утверждения следующее:
Так как из трех последовательных чисел одно кратно трем, то любое целое a можно записать в виде

или в виде

Соответственно,

или

То есть квадрат любого числа либо кратен 3, если само число кратно 3, либо при делении на 3 дает остаток, равный 1.
Сумма двух квадратов кратна 3, если оба числа кратны 3, либо при делении на 3 дает остаток 1, если только одно из чисел кратно 3, либо остаток 2, если ни одно из чисел не кратно 3.
Следовательно, a² + b² делится на три тогда и только тогда, когда числа a и b кратны трем.
Из уравнения

видно, что a² + b² кратно 3. Тогда a и b кратны трем. Следовательно, можно записать

Запишем наше уравнение в виде

Сократим равенство на 3:

или

Исходное уравнение

Значит, мы нашли четверку чисел, удовлетворяющих данному уравнению:

И для этой четверки

Это невозможно в силу выбора четверки: a, b, c, d (см. условия выбора указанной четверки). Значит, утверждение, данное в задаче, верное.

Еще одна задачи из темы «принцип «крайнего»», которую предлагаю вам решить (задача №242):
На плоскости расположено n прямых. При этом n≥3.
Любые две прямые пересекаются и через каждую точку пересечения проходит не менее трех из данных прямых.
Необходимо доказать, что все прямые пересекаются в одной точке.

Решение задачи №242 можно посмотреть здесь: Правило (принцип) «крайнего»_7