Чему будет равно выражение:

А + А?

Очень просто:

А + А = 2А

Что, если кто-то будет утверждать, что:

А + А = А?

Более того, он будет утверждать, что при определенных условиях верно выражение:

А + Б = А

Не спешите утверждать, что он не прав.

Несколько десятков лет назад в школе в обязательном порядке изучали произведение Этель Войнич[1] – «Овод»[2]. И писательница, и ее произведение пользовались заслуженной популярностью. При чем здесь Этель Войнич? Все дело в том, что знаменитая Этель – пятая дочь в семье Джорджа Буля[3]. Другая его дочь – Люси[4] – первая женщина – профессор химии. Дядя его жены Мэри[5] – Джордж Эверест[6], ученый, именем которого названа горная вершина Эверест. Кругом знаменитости! И только имя самого Джорджа Буля долгое время оставалось неизвестным широкому кругу. Пожалуй, что и сейчас мало кто о нем слышал.

Джордж Буль – английский математик и логик. Его работы легли в основу математической логики. Д.Буль изложил алгебру логики, названную его именем – булева алгебра.

До Буля логика широко использовалась в математике. Буль сделал обратное – он использовал математику в логике. В своем сочинении «Исследование законов мысли» Буль записал логические рассуждения математическими формулами.

Во времена Буля его алгебра не нашла себе применения. Сейчас булева алгебра широко применяется в кибернетике. Это еще раз доказывает, что то, что кажется бесполезным сегодня, может оказаться чрезвычайно полезным завтра. Это мы видим на примере Зенона[7] и его апорий[8].

Идеи, изложенные Булем, высказывались и другими учеными задолго до него. В конце XIII века аналогичные идеи высказывал отшельник Раймунд Луллий[9]. Был непонятым современниками. Разъяренная толпа забросала его камнями. Луллия продолжали высмеивать и несколько веков спустя. Например, Рабле[10] в сочинении «Гаргантюа и Пантагрюэль» и Свифт[11] в «Путешествии Гулливера».

Джордано Бруно[12], воздавший должное сочинениям Луллия, окончил жизнь на костре инквизиции.

Алгеброй логики занимался и Лейбниц[13], но его труды на эту тему пролежали в неизвестности более двухсот лет.

Луллий и Лейбниц – предшественники Буля. Были и последователи.

Немецкий математик Георг Кантор[14] тоже, подобно Булю, изобрел свою алгебру – алгебру множеств (теория множеств[15]), подвергавшуюся жесткой критике. Алгебру множеств, в отличии от алгебры чисел, интересует не количество, а качество предметов, свойства, их объединяющие.

Множеством в математике называют собрание предметов (или понятий), которые обладают одним и тем же свойством.

Представим, что ученики в классе – это множество, которое мы обозначим буквой «А».

Ленивые ученики в этом же классе – это множество, которое мы обозначим буквой «Б».

Теперь сложим оба множества:

А + Б

Что мы получим в итоге?

А

Почему? Множество учеников «Б» входит в состав множества учеников «А».

Такой же опыт в вычислениях можно провести, например, с фломастерами (А), часть которых синие (Б). И здесь «А + Б = А».

С «А + Б» понятно, скажите вы. Но почему «А + А = А»?

Ничего сложного. Представим, что в нашем множестве фломастеров (А) все фломастеры синие (Б). Тогда получаем, что

А = Б

Из чего следует, что

А +А = А

Математика – это не всегда сложно, но всегда интересно.

---

[1]    Во́йнич (Буль) Эте́ль Лилиа́н (11 мая 1864 – 27 июля 1960) – писательница, переводчик, композитор, дочь Д.Буля. В ее честь назван кратер «Войнич» на Венере.

[2]    «О́вод» –революционно-романтический роман Этель Лилиан Войнич. Впервые вышел в 1897 году в США.

[3]    Буль Джордж (2 ноября 1815 – 8 декабря 1864) – математик, логик.

[4]    Эверест Буль Люси (5 августа 1862 – 5 декабря 1904) – химик, фармацевт. Первая женщина-профессор Лондонской школы медицины для женщин и первая женщина-стипендиат Королевского института химии.

[5]    Эверест Буль Мэри (11 марта 1832 – 17 мая 1916) – математик-самоучка, автор дидактических работ по математике, таких как «Философия и развлечения алгебры». Жена и коллега Джорджа Буля.

[6]    Э́верест Джордж (4 июля 1790 – 1 декабря 1866) – валлийский географ.

[7]    Зенон Элейский (около 490 до н.э. – около 430 до н.э.) – древнегреческий философ.

[8]    Апории – затруднительные положения (парадоксы).

[9]    Лу́ллий Райму́нд (около 1235 – 1315) – миссионер, поэт, философ, теолог. Считается одним из родоначальников комбинаторики.

[10] Рабле́ Франсуа́ (1494 – 9 апреля 1553) – французкий писатель, врач, богослов, филолог, математик.

[11] Свифт Джо́натан (30 ноября 1667 – 19 октября 1745) – писатель-сатирик, публицист, философ.

[12] Бру́но Джорда́но (1548 – 17 февраля 1600) – католический священник, монах-доминиканец, философ-пантеист, поэт.

[13] Ле́йбниц Го́тфрид Ви́льгельм (21 июня 1646 – 14 ноября 1716) – философ, логик, математик, механик, физик, юрист, историк, дипломат, изобретатель, языковед.

[14] Ка́нтор Гео́рг (3 марта 1845 – 6 января 1918) – математик. Наиболее известен как создатель теории множеств.

[15] Тео́рия мно́жеств – раздел математики, в котором изучаются общие свойства множеств – совокупностей элементов произвольной природы, обладающих каким-либо общим свойством.

Еще больше занимательного из истории математики и математических историй, здесь.