см. статью «Идея бесконечности в древнегреческой математике» (часть 1)

Апории – затруднительные положения (парадоксы), изложенные философом Зеноном[1].

Через «Физику» Аристотеля[2] и комментарии к ней Симпликия[3] до нас дошли девять. Вот некоторые из них.

1. Дихотомия (деление пополам).

В этой апории Зенон утверждает, что движение невозможно, ибо до того, как движущееся тело пройдет расстояние от точки А до точки В, оно должно пройти 1/2 этого расстояния (отрезка), а до этого – 1/4, 1/8, 1/16 … его. Но последовательность этих отрезков бесконечна, значит точка В никогда не будет достигнута.

Парадокс, выдвигаемый как непреодолимый логический тупик, состоит в том, что сумма бесконечного множества слагаемых конечна.

Эта апория свидетельствует о том, что уже в середине V века до н.э. греческие ученые занимались суммированием бесконечной геометрической прогрессии.

2. Ахиллес и черепаха.

Быстроногий Ахиллес никогда не догонит черепаху, если она находится впереди него даже на малом расстоянии.

Доказательство Зенона сводится к следующему: пусть Ахиллес бежит в n раз быстрее черепахи и пусть их разделяет расстояние d. Когда Ахиллес пройдет это расстояние, одновременно с ним начавшая свое движение черепаха пройдет d/n; когда же Ахиллес покроет шагами э это расстояние, движущаяся впереди черепаха будет находиться от него на d/n² и т.д. Между Ахиллесом и черепахой всегда будет оставаться определенное расстояние.

3. Стрела.

Движение летящей стрелы невозможно ввиду того, что в каждый неделимый момент времени она покоится, а промежуток времени является суммой бесконечного числа неделимых моментов.

Затруднение состоит в том, что если время складывается из неделимых «моментов», в каждом из которых тело покоится (иначе «неделимое» подразделялось бы на части, соответствующие различным положениям тела), то и в итоге не можем получить движения.

В первых двух апориях Зенон вскрывает логические трудности, связанные с гипотезой о бесконечной делимости отрезков пути и времени, о непрерывности пространства. В третьей он указывает на логические противоречия, встречаемые с формально-логической точки зрения при введении понятия бесконечности в науку.

Апории Зенона не следует смешивать с математическими софизмами, т.к. апории затрагивают глубокие и серьезные вопросы, полное разрешение которых до сих пор не достигнуто.

[1]    Зенон Элейский (около 490 до н.э. – около 430 до н.э.) – древнегреческий философ.

[2]    Аристотель (384 – 322 годы до н.э.) – древнегреческий философ.

[3]    Симпликий Киликийский (около 490 – 560) – античный философ-неоплатоник.

Смотри:

Развитие понятия числа

«Аксиомы натуральных чисел»

Идея бесконечности в древнегреческой математике. Часть 1.

Идея бесконечности в древнегреческой математике. Часть 2.

Идея бесконечности в древнегреческой математике. Часть 3. «Общая теория отношений величин Евдокса».

Еще больше занимательного из истории математики и математических историй, здесь.