Из «Арифметики» Диофанта

С условиями задач можно ознакомиться здесь.

Задача №51 (1).

Диофант предлагает следующее решение поставленной задачи:
Пусть сумма всех трех чисел равна (х + 1)^², причем сумма первых двух чисел равна х², тогда третье число (2х + 1).

Пояснение: если сумма всех трех чисел равна х², а сумма всех трех чисел равна (х + 1)², тогда третье число

(х + 1)^² – х² = х² + 2х + 1 – х² = 2х + 1

Пусть сумма второго и третьего числа равна (х – 1)².
Получим, что первое число равно 4х, второе (х² – 4х).

Пояснение: если сумма второго и третьего числа равна (х – 1)², то второе число равно

(х – 1)² – (2х + 1) = х² – 2х + 1 – 2х – 1 = х² – 4х

Первое число равно

х² – (х² – 4х) = 4х

Диофант предлагает принять х=20.
Тогда

• первое число (4х) равно 80,
• второе число (х² – 4х) равно 320,
• третье число (2х + 1) равно 41.

Пояснение: меняя значение «х», вы, при должной осмотрительности, найдете иные числа, которые будут подходить под поставленную задачу.

Задача №51 (2).

Для поставленной задачи Диофант предлагает следующее решение:
Обозначим первое число в виде произведения «x» на куб некоторого числа. Возьмем, для примера, 2^³= 8.
Тогда первое число будет 8x.
Пусть второе число будет равным (x² – 1).
Получим выполнение одного из условий задачи: произведение чисел, сложенное с первым числом, равняется кубу некоторого числа

8х*(x² – 1) + 8х = (8x)^³.

Необходимо, чтобы произведение искомых чисел, сложенное со вторым, также равнялось кубу некоторого числа. Для этого 8х*(x² – 1) + (x² – 1) должно быть кубом некоторого числа.

Пусть куб этого числа равняется (2х– 1)³
Тогда

8*х*(x² – 1) + (x² – 1) = (2х – 1)³

8*х³ – 8*х + x² – 1 = 8*х³ – 3*4*x² + 3*2*x – 1

x² – 8*х + 12*x² – 6*x = 0

13*x² – 14*х = 0

13*x² = 14*х

х = 14/13

Первое число: 8*14/13 = 112/13.

Второе число: (14/13)^²– 1= 196/169 – 1= 27/169