Необходимость считать предметы, измерять величины, привели к рождению арифметики. Числа, получаемые в результате измерения, всегда приближенные. Главным образом это объясняется следующим:

а)  измерительные инструменты никогда не бывают совсем точными;

б)  при измерениях на практике всегда допускаются те или иные неточности.

Различные измерения длин или взвешивания дают очень близкие друг другу, но не одинаковые результаты.

Порой и счет предметов приводит к необходимости использовать приближенные значения. Например, при статистических подсчетах.

Не только счет или измерение приводит к использованию приближенных величин. При проведении вычислений приближенные числа имеют очень важное научное и практическое значение. Некоторые приемы приближенных вычислений возникли еще в глубокой древности. Развитие математической мысли привело к разработке разнообразных методов приближенных вычислений.

Франсуа Виет[1] систематически решал числовые уравнения приближенным путем.

Рене Декарт[2] ввел общие методы графического решения уравнений, основанные на применении метода координат, изложенном им в «Геометрии». «Геометрия» была опубликована в 1637 году в качестве третьего приложения к трактату Декарта «Рассуждения о методе». Геометрические построения использовались для решения отдельных уравнений и до Декарта – в древности, в средние века. Введение системы координат позволило сделать графический метод решения уравнений общеприменимым. Методы графического решения получили развитие в трудах Ньютона[3], Бернулли[4], Лейбница[5] и других ученых.

В процессе развития математики ученые столкнулись с необходимостью решения уравнений третьей и высшей степени. Геометрические способы для решения кубических уравнений использовал Архимед[6] и другие древнегреческие ученые. Омар Хайям[7] занимался построением классификации кубических уравнений и их решением с помощью конических сечений. Аль-Каши[8], опубликовавший первое системное изложение теории десятичных дробей, в XV веке для составления таблиц тригонометрических функций и вычисления синуса одного градуса по известному синусу трех градусов впервые применил итерационный метод решения кубического уравнения вида х³+q=qx (уравнение трисекции угла[9]).

Однако формула для решения общего уравнения третьей степени была открыта только в XVI веке итальянскими математиками Ферро[10], Тартальей (Фонтана)[11] и Кардано[12].

Итальянский математик Феррари[13] тогда же находит формулу для решения общего уравнения четвертой степени.

В 20-30-х годах XIX века независимо друг от друга методы алгебраического решения приближенных вычислений корней уравнений опубликовали Данделен[14], Лобачевский[15], Греффе[16].

При рассмотрении вопроса приближенных вычислений следует отметить правило, предложенное А.Н. Крыловым[17]: «Приближенное число следует записать так, чтобы все цифры, кроме последней, были надежными», то есть верными. Указанное правило необходимо для того, чтобы из самой записи приближенного числа судить о степени его точности. А.Н. Крылов писал: «Вычисление должно производиться с той степенью точности, которая необходима для практики, причем всякая неверная цифра составляет ошибку, а всякая лишняя цифра – половину ошибки».

[1]    Вие́т Франсуа́, сеньор де ля Биготьер (1540 – 23 февраля 1603), основоположник символической алгебры.

[2]    Дека́рт Рене́ (31 марта 1596 – 11 февраля 1650) – французский философ, математик, естествоиспытатель, создатель аналитической геометрии.

[3]    Нью́то́н Исаа́к (4 января 1643 – 31 марта 1727) – английский физик, математик, механик, астроном, один из создателей классической физики и математического анализа.

[4]    Берну́лли Я́коб (6 января 1655 – 16 августа 1705) – швейцарский математик.

[5]    Ле́йбниц Го́тфрид Ви́льгельм (21 июня 1646 – 14 ноября 1716) – немецкий философ, логик, математик, механик, физик, юрист, историк, дипломат, изобретатель, языковед.

[6]    Архиме́д (287 – 212 года до н.э.) – древнегреческий ученый и инженер.

[7]    Гия́с-ад-Ди́н Абу-ль-Фатх Ома́р ибн Ибрахи́м Хайя́м Нишапури́ (18 мая 1048 – 4 декабря 1131) – персидский философ, математик, астроном, поэт. Известен как автор цикла философских рубаи.

[8]    Гияс-ад-дин Джамшид ибн Масуд аль-Каши (1380 – 22 июня 1429) – персидский ученый, математик, один из руководителей Самаркандской обсерватории.

[9]    Трисекция угла –разделение угла на три равные части.

[10] Сципио́н дель Фе́рро (6 февраля 1465 – 5 ноября 1526) – итальянский математик.

[11] Тарта́лья Никколо́ (1499 – 1557) – итальянский математик-самоучка, инженер фортификационных сооружений.

[12] Карда́но Джеро́ламо (24 сентября 1501 – 21 сентября 1576) – итальянский математик, инженер, философ, врач, астролог.

[13] Феррари Лодовико (Луиджи) (2 февраля 1522 – 5 октября 1565) – итальянский математик.

[14] Данделен Жерминаль (12 апреля 1794 – 15 февраля 1847) – бельгийский математик, механик.

[15] Лобаче́вский Никола́й Ива́нович (1 декабря 1792 – 24 февраля 1856) – русский математик, один из первооткрывателей неевклидовой («гиперболической») геометрии.

[16] Греффе Карл Генрих (7 ноября 1799 – 2 декабря 1873) – швейцарский математик.

[17] Крыло́в Алексе́й Никола́евич (15 августа 1863 – 26 октября 1945) – русский и советский учёный-математик, механик и инженер-кораблестроитель.