Математику уже затем учить следует,
что она ум в порядок приводит.
М.В. Ломоносов
Практическая деятельность человека привела к необходимости в инструменте, пригодном для подсчета. Если в первобытном обществе человек нуждался лишь в нескольких первых числах, то с развитием цивилизации ему потребовалось изобретать всё бо́льшие и бо́льшие числа. Процесс этот продолжался на протяжении многих столетий и потребовал напряженного интеллектуального труда.
Появление обмена продуктами привело к необходимости сравнивать число предметов одного вида с числом предметов другого вида. Возникают понятия «больше», «меньше», «столько же», «равно». Люди начинают складывать числа. Позже люди научились вычитать числа, затем умножать и делить их. Даже в средние века деление чисел считалось очень сложным и служило признаком чрезвычайно высокой образованности человека (привет нынешним третьеклассникам!).
Развитие человеческого общества и растущие практические потребности человека приводят к необходимости действий над числами. Возникает наука арифметика.
Долгое время в арифметике имели дело с относительно небольшими числами. Более того, еще в III веке до н.э. люди не знали, что натуральный ряд чисел бесконечен. Например, в Древней Греции самое большое число, использовавшееся в системе счисления и имевшее собственное название, была «мириа́да» (др. греч. μῡριάς) – 10 000.
Древнегреческий философ Анаксагор[1] дает первые представления о потенциально бесконечно малом и бесконечно большом.
Древнегреческий философ Аристотель[2] в своих высказываниях допускает бесконечность математического пространства и считает математическую прямую бесконечной. Аналогичных принципов придерживается и Евклид[3].
В попытках вычислить размеры Вселенной Архимед[4] в своем трактате «Псаммит» («Исчисление песчинок») приходит к разработке системы, которая позволяет выразить сколь угодно большое число. Все числа от 1 до мириады он называет первыми числами; до мириады мириад (108) – вторыми числами (димириада); до мириады мириад вторых чисел (1016) – третьими числами (тримириада) и т.д. В своем трактате он показал, что натуральный ряд чисел бесконечен.
Математики Древней Греции, занявшись проблемами больших чисел, совершили скачек от конечного к бесконечному. Идея бесконечности, идущая в разрез с существовавшими философскими воззрениями о конечности Вселенной, открыла математике широкие возможности, вызвав и значительные противоречия, некоторые из которых не раскрыты и по сей день.
В IV веке до н.э. греческие математики из школы Пифагора[5] открыли несоизмеримые отрезки, длины которых они не могли выразить ни целым, ни дробным числом. Одним из таких отрезков была диагональ квадрата со сторонами, равными единице. Сейчас длину такого отрезка можно выразить через «√2» (квадратный корень из двух). Ученые того времени относили числа только к рациональным и не признавали иррациональные числа. Выход был найден в том, что под числами стали понимать длины отрезков прямых. Такое «геометрическое выражение» чисел положительно повлияло на дельнейшее продвижение в математике, но затем вызвало ряд затруднений и уже стало тормозом в прогрессе арифметики и алгебры.
Потребовалась не одна сотня лет для осмысления математиками понятия иррационального числа и выработки способа записи такого числа и его приближенного значения в виде бесконечной десятичной дроби.
Понятие числа прошло длинный путь развития: сначала целые числа, затем дробные, рациональные (положительные и отрицательные) и, наконец, действительные[6].
На этом развитие числа не завершается. Математики встретились с числом «√-1» (квадратный корень из минус одного). Это число получает название «мнимой единицы». Длительное время мнимые числа не признавались за числа. После того, как Каспар Вессель[7] нашел возможность представить мнимое число геометрически, так называемые «мнимые числа» получили свое место в множестве комплексных чисел. Ранее интерпретации этих чисел имелась у Даламбера[8] и Эйлера[9], которые ставили в соответствие комплексным числам точки плоскости и некоторые функции комплексного переменного истолковывали геометрически.
Кардано[10] вводит обозначение комплексного числа в виде «a+b√-1».
Эйлер записывает комплексное число в виде «a+bⅈ», где ⅈ=√-1, а ⅈ2=-1.
По рекомендации ирландского математика Гамильтона[11] комплексные числа стали выражать парой действительных числе в виде (a, b). Однако и на этом развитие понятия числа не завершилось.
[1] Анаксагор (ок. 500 до н.э. – ок. 428 до н.э) – древнегреческий философ.
[2] Аристотель (384 – 322 годы до н.э.) – древнегреческий философ.
[3] Евклид (примерно 325 – 265 годы до н.э.) – древнегреческий математик, геометр.
[4] Архимед (287 – 212 годы до н.э.) – древнегреческий учёный и инженер.
[5] Пифагор Самосский (около 570—490 годов до н.э.) – древнегреческий философ, математик.
[6] Любое число, которое можно выразить в виде конечной или бесконечной десятичной дроби, представляет собой элемент множества действительных чисел.
[7] Вессель Каспар (1745 – 1818) – датско-норвежский математик, по профессии землемер.
[8] Даламбер Жан Лерон (16 ноября 1717 – 29 октября 1783) – французский ученый-энциклопедист, философ, математик, механик.
[9] Эйлер Леонард (15 апреля 1707 – 18 сентября 1783) – швейцарский, прусский и российский математик, механик.
[10] Кардано Джероламо (24 сентября 1501 – 21 сентября 1576) – итальянский математик, инженер, философ, врач, астролог.
[11] Гамильтон Уильям Роуэн (4 августа 1805 – 2 сентября 1865) – ирландский математик, механик-теоретик, физик-теоретик.
Смотри далее:
Идея бесконечности в древнегреческой математике. Часть 1.
Идея бесконечности в древнегреческой математике. Часть 2
Еще больше занимательного из истории математики и математических историй, здесь.
Добавить комментарий
Для отправки комментария вам необходимо авторизоваться.