Смотри «Развитие понятия числа»

Аксиоматическое построение любой математической теории начинается с перечисления неопределяемых основных понятий (объектов и отношений) и аксиом, которым должны удовлетворять основные понятия. Профессор Туринского университета Джузеппе Пеано[1] в статье «О понятии числа» (1891 г.) сформулировал пять аксиом:

1. 0 есть натуральное число.
2. Следующее за натуральным числом есть натуральное число.
3. 0 не следует ни за каким натуральным числом.
4. Всякое натуральное число следует только за одним натуральным числом.
5. Аксиома полной индукции: любое (нестрогое) подмножество M множества N, содержащее единицу, и вместе с каждым числом из M, содержащее следующее за ним число, совпадает с множеством N.

С аксиоматической точки зрения приводятся два понятия:

• «натуральные числа» (объект);
• «непосредственно следует за» (соотношение).

Эти понятия косвенно определяются системой аксиом.

Существующая система аксиом по форме несколько отличается от вышеприведенной.

Натуральные числа – это элементы всякого непустого множества N, в котором для некоторых элементов a и b установлено соотношение «b следует за a» (число, следующее за a, обозначается a*), удовлетворяющее следующим четырем аксиомам:

1. Существует натуральное число 1, непосредственно не следующее ни за каким натуральным числом. То есть для любого a имеем:

a* ≠ 1.

2. Для каждого натурального числа a существует одно и только одно непосредственно следующее за ним следующее натуральное число a*, т.е.:

из a = b следует a* = b*.

3. Любое натуральное число, кроме 1, непосредственно следует за одним и только за одним натуральным числом, т.е.:

если a ≠ 1, то из a* = b* следует a = b.

4. Аксиома индукции. Пусть М – подмножество множества N натуральных чисел, обладающее свойствами:

а) 1 принадлежит М;

б) если натуральное число a принадлежит М, то a* также принадлежит М; тогда множество М содержит все натуральные числа, т.е. М совпадает с N.

То, что в первоначальной формулировке аксиом (Пеано) первым элементом указан 0, а не 1, не имеет принципиального значения. В настоящее время нуль причисляется не к натуральным, а к целым числам.

На основе аксиом можно определить арифметические действия и построить всю арифметику натуральных чисел чисто дедуктивным путем. В частности, на основе четвертой аксиомы доказывается следующее предположение:

Если некоторая теорема Т, в формулировку которой входит натуральное число n, верна для n=1 и в предположении, что она верна для n, будет верна и для n+1, то Т верна для любого натурального числа.

Это предположение, эквивалентное четвертой аксиоме, называют принципом математической индукции. На этом принципе и основан метод математической индукции, с помощью которого доказывают многие теоремы арифметики, алгебры, теории чисел и геометрии.

Под индукцией понимают в логике одну из форм умозаключений, состоящую в выведении общего суждения относительно бесконечного множества объектов на основании изучения некоторого конечного числа частных случаев.

[1] Пеано Джузеппе (27 августа 1858 – 20 апреля 1932) – итальянский математик, логик.

Смотри далее:

Идея бесконечности в древнегреческой математике. Часть 1.

Апории Зенона

Идея бесконечности в древнегреческой математике. Часть 2

Еще больше занимательного из истории математики и математических историй, здесь.