Задача №166

Решите следующую задачу:
В летнем лагере отдыхают 70 школьников. Из них 27 занимаются волейболом, 32 играют в футбол, 22 играют в шахматы.
Среди волейболистов 10 ребят играют и в футбол. Среди футболистов 6 шахматистов, а среди волейболистов – 8 любителей шахмат.
Три шахматиста играют и в волейбол и в футбол.

Вопрос:

1. Сколько школьников не играют в волейбол, не играют в шахматы и не играют в футбол?
2. Сколько школьников играют только в шахматы?

Аналогичные задачи уже были: №66, №74. Для их решения мы выстраивали логическую цепочку (см. ответ к задаче №66), рисовали наглядную схему (см. ответ к задаче №74). Но есть и иной способ поиска решения к такому типу задач.

Немного углубимся в историю.
XVIII век. Леонард Эйлер[1] при решении задач с множествами использует круги, позже названые «кругами Эйлера». Этими «кругами» он и изображает исследуемые множества. Стоит отметить, что «круги» – название несколько условное, так как с тем же успехом могут использоваться самые разные фигуры. Эйлер – автор более чем 850 работ (включая два десятка фундаментальных монографий) по математическому анализу, теории чисел, оптике, механике, баллистике, кораблестроению и другим областям.
Эти «круги» не являются изобретением самого Эйлера. Таким методом ещё до Эйлера пользовался немецкий философ и математик Готфрид Вильгельм Лейбниц[2]. Лейбниц использовал их для геометрической интерпретации логических связей между понятиями, отдавая при этом предпочтение линейным схемам. Эйлер развивает метод исследования множеств при помощи «кругов», делает его применение более широким при решении задач.

Теперь перенесемся в конец века XIX. Джон Венн[3] издает книгу «Символическая логика» (Symbolic Logic, 1881 год). Эта работа была посвящена преимущественно идеям Джорджа Буля[4], попытавшегося представить логические отношения в алгебраических терминах (см. «Булева алгебра»). В своей книге Венн предлагает свою схему изображения пересечения множеств с помощью кругов Эйлера. Доработанная Венном схема Эйлера носит название «Диаграмма Эйлера-Венна». Благодаря построению диаграммы можно увидеть все возможные сочетания пересечений между элементами.

Перейдем к решению нашей задачи.
Первоначально обозначим всё множество школьников, находящихся в летнем лагере, одним общим «кругом»:

У нас есть подмножества «спортсменов» (в скобках указано количество и применяемое к подмножеству обозначение):

• «волейболисты» (27 В),
• «футболисты» (32 Ф),
• «шахматисты» (22 Ш).

При этом некоторые школьники занимаются не одним, а сразу несколькими видами спорта (шахматы — это тоже спорт). То есть, это необходимо понимать как пересечение подмножеств «спортсменов» внутри множества всех школьников, находящихся в летнем лагере. Пересечение подмножеств обозначим комбинацией соответствующих букв. Общее количество школьников (70) дополнительно никак обозначать не станем.

Для понимания схемы еще раз проговорим: 27В – это ОБЩЕЕ количество «волейболистов», включая тех, кто играет в шахматы и/или в футбол!!! Аналогично мы обозначили общее количество «футболистов» (32Ф) и «шахматистов» (22Ш).
Теперь нам предстоит «наполнить» схему информацией, имеющейся в задаче:

• 10 волейболистов (В) играют и в футбол (Ф);
• среди футболистов (Ф) 6 шахматистов (Ш);
• среди волейболистов (В) 8 любителей шахмат (Ш);
• 3 шахматиста (Ш) играют и в волейбол (В) и в футбол (Ф).

Читать схему следует так: среди 70 школьников 27 волейболистов, 7 из которых занимаются еще и футболом, но не шахматами, а 5 занимаются шахматами, но не занимаются футболом. Только трое из волейболистов занимаются сразу тремя видами спорта.
Аналогично схема читается по футболистам и шахматистам.

Мы наглядно видим пересечение подмножеств внутри общего множества:

• 3 человека занимаются сразу тремя видами спорта (ВФШ);
• 10 волейболистов (В) играют и в футбол (Ф), при этом только семеро играют в футбол, но не играют в шахматы;
• среди волейболистов (В) 8 любителей шахмат (Ш), а это означает, что только 5 человек занимаются волейболом и шахматами (ВШ), так как лишь трое занимаются сразу тремя видами спорта;
• среди футболистов (Ф) 6 шахматистов (Ш), но трое из них занимаются сразу тремя видами спорта (ВФШ), значит, только 3 школьника-футболиста являются еще и шахматистами (ФШ).

Вернемся к вопросам задачи:

• Сколько школьников не играют в волейбол, не играют в шахматы и не играют в футбол?
• Сколько школьников играют только в шахматы?

Для ответа на первый вопрос необходимо определить, сколько школьников играет только в волейбол и не занимается иными видами спорта, и, аналогично, сколько школьников занимается только футболом, сколько школьников играет только в шахматы.
Схема дает наглядное представление в поиске ответа.
Исключительно волейболистов:

Исключительно футболистов:

Исключительно шахматистов:

Значит, представленными в задаче видами спорта не занимаются:

Ответ на первый вопрос: 10 школьников не играют в волейбол, не играют в шахматы и не играют в футбол.

Ответ на второй вопрос мы уже нашли выше: 11 школьников играет только в шахматы.

Попытайтесь решить задачи №66 и №74 с помощью предложенной выше схемы.

[1]     Леона́рд Э́йлер (15 апреля 1707 – 7 сентября 1783) – швейцарский, прусский и российский математик и механик, внёсший фундаментальный вклад в развитие этих наук. Также внес значительный вклад в развитие физики, астрономии и других наук.

[2]    Го́тфрид Ви́льгельм Ле́йбниц (21 июня 1646 – 14 ноября 1716) – немецкий философ, логик, математик, механик, физик, юрист, историк, дипломат, изобретатель, языковед.

[3]    Джон Венн (4 августа 1834 – 4 апреля 1923) – английский логик и философ.

[4]    Джордж Буль (2 ноября 1815 – 8 декабря 1864) – английский математик и логик.