Часть 3. Общая теория отношений величин Евдокса[1]

С частью 1 можно ознакомиться здесь: «Идея бесконечности в древнегреческой математике (часть 1)».

С отдельными апориями[2] философа Зенона[3] можно ознакомиться здесь.

С частью 2 можно ознакомиться здесь: «Идея бесконечности в древнегреческой математике (часть 2)».

Общая теория отношений величин Евдокса содержится в V книге «Начал» Евклида[4]. Предполагается, что для любой пары величин (изображены отрезками) найдется соответствующая пара отрезков a, b так, что отношение величин будет равно отношению отрезков a : b. В самом начале V книги Евклида вводится аксиома Архимеда[5], которую правильнее было бы назвать аксиомой «Евдокса-Архимеда»: величины имеют отношение между собой, если они, взятые кратно, могут превзойти друг друга. Две однородные величины могут находиться в математическом отношении, только если на них распространяется эта аксиома, являющаяся одной из аксиом непрерывности.

Равенство отношений определяется следующим образом: величины A, B имеют то же отношение, что и величины C, D, если для любой пары натуральных чисел m и n выполняется какое-либо из следующих трех условий:

1. mA<nB и mC<nD;
2. mA=nB и mC=nD;
3. mA>nB и mC>nD.

Операции умножения вещественных чисел у Евдокса соответствует составление отношений. «Составить» пару отношений A:B иB:C – значит найти отношение A:C. Для составления произвольных двух отношений a:b и c:d, требуется предварительно найти отношение b:x, равное c:d, что осуществляется путем построения к любым трем отрезкам c, d,b четвертого пропорционального отрезка x. В V книге «Начал» Евклида устанавливаются основные свойства отношений и их составления.

Не все математики истолковывали определение равенства отношений Евдокса верно. Так, например, французский ученый П.Рамус[6] в XVI веке возражал против определения равенства отношений Евдокса. При этом он ссылался на следующий пример: для чисел 4; 3 и 5; 4, m = 6, n = 9 имеет место неравенство

6*9 < 9*3 и 6*5 < 9*4,

но вместе с этим отношение 4:3 не равно отношению 5:4.

Рамус не учитывал, что рассматривать необходимо не определенную одну пару или конечное число пар натуральных чисел m, n, а произвольную пару. В данном случае достаточно взять

m = 6, n = 8,

чтобы получить:

6*4 = 8*3,

в то время как

6*5 < 8*4

Именно тот факт, что равенство отношений определяется Евдоксом с помощью бесконечного множества неравенств типа «1» или «3» (см. выше «три условия»), вызывал много трудностей для понимания его теории, задолго предвосхитившей теорию вещественных чисел Де́декинда[7].

Метод исчерпывания Евдокса основывается на идее неограниченного приближения к некоторой величине с помощью последовательности неограниченного числа значений других величин и на основе безграничного деления любой величины на части, меньшие любых наперед заданных величин. То есть имеет место идея потенциальной бесконечности, на которой базируется и метод пределов. С помощью метода исчерпывания Евдокс, например, строго доказал, что объем пирамиды равен 1/3 объема призмы с тем же основанием и высотой.

Идея бесконечности возникла и применялась в древнегреческой математике в связи с развитием арифметики и теории чисел (натуральный ряд, бесконечное множество простых чисел и др.), с открытием несоизмеримости и с вопросом измерения и исследования свойств геометрических фигур.

Развитие в математике понятия бесконечности тесно связано с решением конкретных математических задач и разработкой соответствующих математических методов (общая теория отношений, метод исчерпывания и др.).

---

[1]    Евдокс Книдский (ок. 408 год до н.э. – ок. 355 год до н.э.) – древнегреческий математик и астроном.

[2]    Апории – затруднительные положения (парадоксы)

[3]    Зенон Элейский (около 490 до н.э. – около 430 до н.э.) – древнегреческий философ.

[4]    Евклид (примерно 325 – 265 годы до н.э.) – древнегреческий математик, геометр

[5]    Архимед (287 – 212 годы до н.э.) – древнегреческий учёный и инженер.

[6]    Рамус Петр (1515 – 26 августа 1572) – французский философ, логик, математик.

[7]    Де́декинд Юлиус Вильгельм Рихард (6 октября 1831 – 12 февраля 1916) – немецкий математик.

Непременно посмотрите:

Развитие понятия числа

«Аксиомы натуральных чисел«

Еще больше занимательного из истории математики и математических историй, здесь.